Sayılar

Rakam Nedir?

Rakam, sayıları yazılı olarak ifade etmek için kullanılan sembollerdir. Dünya genelinde en yaygın kullanılan sistem, 0’dan 9’a kadar olan Arap rakamlarıdır. Örneğin, 5 rakamı beşliği temsil eder.

Sayı Nedir?

Sayı, miktar veya sıra belirten kavramdır ve matematikte bir değeri ifade etmek için kullanılır. Sayılar, hesaplamalar yapmamızı, ölçüm yapmamızı ve dünyayı sınıflandırmamızı sağlar. Örneğin, bir elmanın sayısı, bir kilometredeki metre sayısı veya bir kitaptaki sayfa sayısı.

NOT: Her sayı rakam değildir ancak her rakam bir sayıdır.

Sayı Kümeleri

Sayı kümeleri, sayıların belirli özelliklerine göre sınıflandırıldığı gruplardır. Her bir küme, matematikte farklı amaçlar için kullanılır ve özgün özelliklere sahiptir.

Sayma Sayıları

Sayma sayıları, günlük yaşamda nesneleri saymak için kullanılan sayılardır. En basit haliyle 1, 2, 3 gibi başlayıp sonsuza kadar devam eden sayılardır. Bu sayılar pozitif tam sayılardır ve sıfırı içermezler.

Doğal Sayılar

Doğal sayılar, sıfır ve pozitif tam sayıları kapsayan bir sayı kümesidir. Genellikle matematikte ve bilimsel çalışmalarda bu sayılar kullanılır. Örneğin, bir kitaplıkta bulunan kitap sayısı veya bir sınıftaki öğrenci sayısı doğal sayılardır.

N = {0, 1, 2, 3, 4, … , n} şeklinde gösterilir.

Pozitif Doğal Sayılar

Pozitif doğal sayılar, sıfırdan başlayıp artan sayılardır ve sadece pozitif tam sayıları içerir. Bu kategoriye giren sayılar, matematiksel işlemlerde ve günlük hesaplamalarda çok sık kullanılır.

N⁺ =  {1, 2, 3, 4, … , n} şeklinde gösterilir.

NOT: Sayma sayılar kümesi pozitif tam sayılar kümesine eşittir.

Tam Sayılar

Tam sayılar kümesi, negatif tam sayılar, sıfır ve pozitif tam sayıları içerir. Örneğin, -3, 0, 1 ve 5 tam sayılardır. Bu sayılar, finansal hesaplamalar gibi denge gerektiren durumlar için önemlidir.

Z = {– n , … – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, … , n} şeklinde gösterilir.

Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı şeklinde ifade edilebilen sayılardır. Bu oranın paydası sıfır dışında herhangi bir tam sayı olabilir. Örneğin, $\frac{1}{2}$, $\frac{4}{5}$ ve $-\frac{7}{3}$ rasyonel sayılardır.

NOT: Rasyonel sayılarda payda asla sıfır olamaz.

İrrasyonel Sayılar

İrrasyonel sayılar, ondalık açılımı sonsuza kadar devam eden ve periyodik olmayan sayılardır. Bu sayılara örnek olarak $\pi$ (pi) ve $\sqrt{2}$ (karekök iki) verilebilir.

NOT: Hem rasyonel hem de irrasyonel olan bir sayı yoktur.

Reel (Gerçel) Sayılar

Reel sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayıları içeren geniş bir kategoridir. Bu sayılar, matematikte ve günlük hayatta sıkça karşılaştığımız her türlü sayıyı kapsar.

Karmaşık (Kompleks) Sayılar

Karmaşık sayılar, bir gerçek ve bir sanal bileşenden oluşur. Genel formu $a + bi$ şeklindedir, burada $a$ ve $b$ reel sayılardır, $i$ ise sanal birimin karesi -1 olan sanal sayıdır. Bu sayılar, mühendislik ve fizik gibi alanlarda özellikle önem taşır.

Sayı Çeşitleri

Çift Sayı

Çift sayılar, 2 ile bölünebilen tam sayılardır. Bu sayılar 0, 2, 4, 6 gibi devam eder. Matematikte çift sayılar özellikle toplama ve çıkarma işlemleri sonucu yine çift sayı verme özelliği ile önem taşır.

Tek Sayı

Tek sayılar, 2 ile tam bölünemeyen tam sayılardır. Örnek olarak 1, 3, 5, 7 gibi sayılar verilebilir. Tek sayılar, çarpma ve bölme işlemleri dışında, toplama ve çıkarma işlemleriyle ilginç sonuçlar verebilir.

Pozitif ve Negatif Sayılar

Pozitif sayılar sıfırdan büyük olan sayılardır, negatif sayılar ise sıfırdan küçük olan sayılardır. Matematikte bu iki tür sayı, işaretlerine göre işlemlerde farklı sonuçlar verebilir.

Asal Sayı

Asal sayılar, yalnızca 1 ve kendileri ile bölünebilen 1’den büyük tam sayılardır. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11 gibi sayılar asal sayılardır. Asal sayılar, sayı teorisinin temel taşlarıdır ve kriptografi gibi alanlarda önemli rol oynarlar.

Aralarında Asal Sayı

Aralarında asal sayılar, ortak böleni yalnızca 1 olan iki veya daha fazla sayıdır. Örneğin, 8 ve 15 sayıları aralarında asaldır çünkü ortak bölenleri sadece 1’dir.

Ardışık Sayılar

Ardışık sayılar, birbirini takip eden sayılardır (örneğin, 4, 5, 6). Bu sayılarla yapılan işlemler farklı matematiksel özellikler gösterebilir.

Ardışık Sayma Sayılarını Toplama

Ardışık sayılarla yapılan toplama işlemleri genellikle diziler ve seriler konusunda incelenir. Örneğin, ilk n ardışık doğal sayının toplamı $\frac{n(n+1)}{2}$ formülü ile hesaplanabilir.

Ardışık Pozitif Çift Doğal Sayıların Toplamı

Ardışık çift sayılar $2, 4, 6, 8, \ldots$ şeklinde devam eder. Eğer ilk n ardışık çift sayının toplamını bulmak istiyorsak, bu sayıların her biri 2’nin katı olduğundan, genel formül şu şekilde olur:

Burada $1 + 2 + 3 + \ldots + n$ toplamı, ilk n doğal sayının toplamıdır. Bu toplamın formülü $\frac{n(n + 1)}{2}$ olarak bilinir. Bu yüzden formülü şu şekilde ifade edebiliriz:

Ardışık Tek Doğal Sayıların Toplamı

Ardışık tek sayılar $1, 3, 5, 7, \ldots$ şeklinde devam eder. İlk n ardışık tek sayının toplamını hesaplamanın formülü:

Bu toplam, n terimli bir aritmetik seri olduğundan, genel formül:

olur. Bu, ardışık tek sayıların toplamının, terim sayısının karesi olduğunu gösterir.

Sayı Çeşitleri ile Dört İşlem

Bu başlık altında, çeşitli sayı türleriyle yapılan dört temel matematik işleminin (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) sonuçlarını inceleyeceğiz.

Çift ve Tek Sayılarla İşlemler

• Toplama:
  • İki çift sayı toplandığında sonuç çift sayıdır. (Ç + Ç = Ç)
  • İki tek sayı toplandığında sonuç çift sayıdır. (T + T = Ç)
  • Bir çift ve bir tek sayı toplandığında sonuç tek sayıdır. (Ç + T = T)
• Çıkarma:
  • İki çift sayı çıkarıldığında sonuç çift sayıdır. (Ç – Ç = Ç)
  • İki tek sayı çıkarıldığında sonuç çift sayıdır. (T – T = Ç)
  • Bir çift ve bir tek sayı çıkarıldığında sonuç tek sayıdır. (Ç – T = T veya T – Ç = T)
• Çarpma:
  • Çift sayılarla yapılan çarpma işlemi her zaman çift sonuç verir. (Ç X Ç = Ç)
  • Bir çift ve bir tek sayı çarpıldığında sonuç çift sayıdır. (Ç X T = Ç)
  • İki tek sayının çarpımı tek sayıdır. (T X T = T)

Pozitif ve Negatif Sayılarla İşlemler

• Toplama ve Çıkarma:
  • İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (P + P = P)
  • İki negatif sayının toplamı negatiftir. (N + N = N)
  • Pozitif bir sayı ile negatif bir sayı toplandığında, büyük olanın işareti sonucu belirler.
• Çarpma ve Bölme:
  • İki pozitif veya iki negatif sayının çarpımı her zaman pozitiftir. (P X P = P veya N X N = P)
  • Bir pozitif ve bir negatif sayının çarpımı her zaman negatiftir. (P X N = N)