Ortak Bölenler ve En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

Ortak bölenler, iki veya daha fazla sayının hepsi tarafından tam olarak (kalansız) bölünebilen sayılardır. Bu sayıların en büyüğüne En Büyük Ortak Bölen (EBOB) denir ve matematikte çeşitli problemleri çözmek için kullanılır, özellikle kesirlerin sadeleştirilmesi veya bazı denklemlerin çözülmesi gibi.

EBOB’u Bulma Yöntemleri

EBOB, genellikle iki yöntemle bulunabilir: Asal çarpanlara ayırma veya Öklid Algoritması.

Asal Çarpanlara Ayırma ile EBOB

İki sayının asal çarpanlarını bulup, her iki sayıda da bulunan en düşük kuvvetli asal çarpanların çarpımını hesaplayarak EBOB’u bulabilirsiniz.

Örnek:

48 ve 180 sayılarının EBOB’unu bulalım:

• 48 = 2⁴ × 3¹
• 180 = 2² × 3² × 5¹

Asal çarpanlara ayırma konumuza göz atarak yukarıdaki işlemin nasıl yapıldığını daha kolay anlayabilirsiniz.

Her iki sayının ortak asal çarpanları 2 ve 3’tür. Bu sayıların en düşük kuvvetlilerini seçeriz. (Yukarıda da kalın şekilde işaretlenmiştir)

• 2’nin en düşük kuvveti 2’dir.
• 3’ün en düşük kuvveti 1’dir.

Bu durumda, EBOB = 2² × 3¹ = 12.

Öklid Algoritması ile EBOB

Bu yöntem, iki sayı arasındaki farkı kullanarak EBOB’u bulur ve genellikle büyük sayılar için daha hızlı sonuç verir.

Örnek:

48 ve 180 için Öklid Algoritması uygularsak:

• Öncelikle büyük olan 180 sayısını 48’e bölerek başlanır. Bu işlem sonucunda bölüm: 3 kalan: 36 olacaktır. (180 ÷ 48 = 3 kalan 36)
• Daha sonra bir önceki bölen olan 48 sayısı bir önceki bölmeden kalan 36 sayısına bölünür. Bu işlem sonucunda bölüm: 1 kalan: 12 olacaktır. (48 ÷ 36 = 1 kalan 12)
• Daha sonra tekrar bir önceki bölen olan 36 sayısı bir önceki bölmeden kalan 12 sayısına bölünür. Bu işlem sonucunda bölüm: 3 kalan: 0 olacaktır. (36 ÷ 12 = 3 kalan 0)
• Kalan 0 olduğunda son işlemin böleni aradığımız EBOB’dur. Bu işlem için baktığımızda 12 sayısı 48ve 180 sayılarının en büyük ortak bölenidir.

Katlar ve En Küçük Ortak Kat (EKOK)

Katlar, bir sayının çarpım yoluyla elde edilen değerleridir. İki veya daha fazla sayının katları arasında, hepsinin ortak olduğu en küçük değere En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir. EKOK, özellikle iki sayının veya terimin birbirleriyle olan ilişkilerini düzenlemek için kullanılır, örneğin, kesirlerde paydaları eşitlemek gibi.

EKOK’u Bulma Yöntemleri

EKOK da EBOB gibi asal çarpanlara ayırma yöntemiyle veya EBOB üzerinden hesaplanabilir.

Asal Çarpanlara Ayırma ile EKOK

İki veya daha fazla sayının asal çarpanları bulunur, ve bu asal çarpanların en yüksek kuvvetleri alınarak çarpılır.

Örnek: 8 ve 12 sayılarının EKOK’unu hesaplayalım:

• 8 = 2³
• 12 = 2² × 3¹

Asal çarpanlara ayırma konumuza göz atarak yukarıdaki işlemin nasıl yapıldığını daha kolay anlayabilirsiniz.

Her iki sayıda da bulunan en yüksek kuvvetli asal çarpanlar 2 ve 3’tür. (Yukarıda da kalın şekilde işaretlenmiştir)

• 2’nin en yüksek kuvveti 3’tür.
• 3’ün en yüksek kuvveti 1’dir.

Bu durumda, EKOK = 2³ × 3¹ = 24.

EBOB üzerinden EKOK

İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB’u ile EKOK’unun çarpımına eşittir. Bu ilişki, EKOK’u hızlı bir şekilde bulmak için kullanılabilir.

Formül: EKOK(a,b) X EBOB(a,b) = ∣a×b∣ Bu formülden yola çıkarak iki sayının çarpımını EBOB’una bölersek EKOK’unu bulabiliriz.

Örnek:

8 ve 12 sayısının EKOK’unu bu yöntem ile bulalım:

• EBOB(8, 12) = 4’tür. (EBOB’un bulunması işlemi için yukarıdaki bilgileri göz atabilirsiniz)
• EKOK(8, 12) = (8×12)/4= 96/4 =24 olarak bulunur.

Bu yöntemlerle EKOK, özellikle büyük sayılar için zaman kazandırır ve işlemleri basitleştirir.